Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若函數的圖像在點處的切線與直線平行，求實數的值；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

（Ⅲ）若時，在定義域內總有成立，試求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當時，函數在單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（Ⅲ）

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結合導函數與原函數切線的關系可得；

(Ⅱ)結合導函數的性質分類討論有當時，函數在單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

(Ⅲ)原問題等價于恒成立，構造函數，結合導函數研究函數的最小值可得實數的最大值為

試題解析：

（Ⅰ）易得，且

由題意，得，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①當時， ， 函數在單調遞減，

②當時，由，得；

由，得或

函數在上單調遞增，在上單調遞減.

③當時，同理，得

函數在上單調遞增，在上單調遞減，

綜上，當時，函數在單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅲ）當時，由恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，則只需

又，令，得，

當時， ，此時，函數在上單調遞減；

當時， ，此時，函數在上單調遞增，

當時，

故所求實數的最大值為