Question

如圖A、B、C為函數y=log

1

3

x的圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t、t+2、t+4，（t≥1）
（1）設△ABC的面積為s，求s=f（t）；
（2）判斷函數s=f（t）的單調性；
（3）求函數s=f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到A、B、C的坐標，根據圖象可得△ABC的面積為S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根據相應的面積公式，代入相關數據，化簡運算即可得到答案；
（2）根據（1）中所求的表達式，利用復合函數的單調性的性質，判斷即可得到答案；
（3）根據（2）中所得的函數的單調性，利用單調性，即可求得三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵A、B、C為函數y=log

1

3

x的圖象上的三點，它們的橫坐標分別是t、t+2、t+4，（t≥1）
∴A（t，log

1

3

t），（t+2，log

1

3

(t+2)），（t+4，log

1

3

(t+4)），
過A、B、C分別作AE、BF、CN垂直于x軸，垂足為E、F、N，
由圖象可得，△ABC的面積為S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，
∴S=

1

2

[-log

1

3

t-log

1

3

(t+2)]×[（t+2）-t]+

1

2

[-log

1

3

(t+2)-log

1

3

(t+4)]×[（t+4）-（t+2）]-

1

2

[-log

1

3

t-log

1

3

(t+4)]×[（t+4）-t]
=-[log

1

3

t+log

1

3

(t+2)]-[log

1

3

(t+2)+log

1

3

(t+4)]+2[log

1

3

t+log

1

3

(t+4)]
=-log

1

3

(t2+2t)-log

1

3

(t2+6t+8)+log

1

3

(t2+4t)2
=log

1

3

t2+4t

(t+2)2

=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)，t≥1，
∴△ABC的面積為S=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)（t≥1）；
（2）∵S=log

1

3

(1+

4

t2+4t

)（t≥1），
∴函數S是由μ=1+

4

t2+4t

和S=log

1

3

μ復合而成的復合函數，
又y=t²+4t在[1，+∞）上是增函數，且y≥5，
∴μ=1+

4

t2+4t

在[5，+∞）上是減函數，且1＜μ＜

9

5

，
∴S=log₃μ在(1，

9

5

]上是增函數，
∴復合函數S=f(t)=log3(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞）上是減函數；
（3）由（2）知，S=f(t)=log3(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞）上是減函數，
∴當t=1時，S取最大值f（1），
又f(1)=log3

9

5

=2-log35，
∴函數s=f（t）的最大值為2-log₃5．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，函數的值域的求解．考查了對數的運算以及對數函數的單調性的應用，對于指數與對數函數的問題，如果底數a的值不確定范圍，則需要對底數a進行分類討論，便于研究函數的圖象和性質．屬于中檔題．