Question

定義{a，b，c}為函數y=ax²+bx+c的“特征數”．如：函數y=x²-2x+3的“特征數”是{1，-2，3}，函數y=2x+3的“特征數”是{0，2，3，}，函數y=-x的“特征數”是{0，-1，0}
（1）將“特征數”是{0，

3

3

，1}的函數圖象向下平移2個單位，得到的新函數的解析式是

y=

3

3

x-1

； （答案寫在答卷上）
（2）在（1）中，平移前后的兩個函數分別與y軸交于A、B兩點，與直線x=

3

分別交于D、C兩點，在平面直角坐標系中畫出圖形，判斷以點A、B、C、D為頂點的四邊形形狀，并說明理由；
（3）若（2）中的四邊形與“特征數”是{1，-2b，b2+

1

2

}的函數圖象的有交點，求滿足條件的實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得函數解析式，由平移的知識可得；
（2）由直線的方程易證四邊形為平行四邊形，由坐標可得AB=BC，即得菱形；
（3）分別求得函數圖象過點A，D時的b值，數形結合可得范圍．

解答：解：（1）由題意可得“特征數”是{0，

3

3

，1}的函數為y=

3

3

x+1，
其圖象向下平移2個單位，得到的新函數的解析式是y=

3

3

x+1-2，即y=

3

3

x-1；
（2）由題意可知y=

3

3

x+1向下平移兩個單位得y=

3

3

x-1

∴AD∥BC，且AB=2，由直線的方程可知AB∥CD．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
同時可得C點坐標為（

3

，0），D（

3

，2）
由勾股定理可得BC=2，即AB=BC=2
∴四邊形ABCD為菱形．
（3）可得二次函數為：y=x²-2bx+b²+

1

2

，化為頂點式為：y=（x-b）²+

1

2

，
∴二次函數的圖象不會經過點B和點C．
設二次函數的圖象與四邊形有公共部分，

當二次函數的圖象經過點A時，將A（0，1），代入二次函數，
解得b=-

2

2

，b=

2

2

（不合題意，舍去），
當二次函數的圖象經過點D時，將D（

3

，2），代入二次函數，
解得b=

3

+

6

2

，b=

3

-

6

2

（不合題意，舍去），
所以實數b的取值范圍：-

2

2

≤b≤

3

+

6

2

．

點評：本題考查新定義，涉及二次函數和直線的位置關系的判定，屬基礎題．