Question

【題目】已知橢圓: ()的離心率為， ， 分別是它的左、右焦點，且存在直線，使， 關于的對稱點恰好是圓： （， ）的一條直徑的兩個端點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與拋物線相交于、兩點，射線、與橢圓分別相交于、．試探究：是否存在數集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內？若存在，求出數集；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在數集.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程配方得半徑為2，由題設知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，又，可得橢圓方程.

（2）由題可得直線是線段的垂直平分線，由方程與，聯立可得：

， .又點在以線段為直徑的圓內即,

試題解析：（1）將圓的方程配方得： ，所以其圓心為，半徑為2，由題設知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，

又，所以，從而，故橢圓的方程為.

（2）因為產于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標原點），故方程為，與，聯立得： ，由其判別式得①.

設， ，則， ，

從而， .

因為的坐標為，

所以， ，

注意到與同向， 與同向，所以

點在以線段為直徑的圓內，所以

即

代入整理得②

當且僅當即時，總存在，使②成立.

又當時，由韋達定理知方程的兩根均為正數，故使②成立的，從而滿足①.

故存在數集，當且僅當時，總存在使點在以線段為直徑的圓內.

點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及點在以線段為直徑的圓內,坐標化求解即可.