Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.

（1）若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值；

（2）若p＝，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）an＝＋·

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此.又a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.當(dāng)p＝0時(shí)，an＋1＝an，這與{an}是遞增數(shù)列矛盾，故p＝.

（2）由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是（a2n＋1－a2n）＋（a2n－a2n－1）>0.①

因?yàn)?/span><，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②

由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③

因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④

由③④可知，an＋1－an＝.

于是an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋－＋…＋

＝1＋·＝＋·.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝＋·