Question

【題目】已知函數,

(1)若兩函數圖象有兩個不同的公共點,求實數的取值范圍；

(2)若, ,求實數的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）由兩函數圖象有兩個不同的公共點可等價于方程在有兩個不同的解，即方程在有兩個不同的解，設，求導的函數的單調性，從而求出的最大值，從而可求出實數的取值范圍；（2）由在上恒成立，等價于對恒成立，設,則只需,對求導分析其單調性，從而可得，即可得到實數的最大值.

試題解析：(1)解:函數與的圖象有兩個不同的公共點等價于方程在有兩個不同的解,即方程在有兩個不同的解.

設,則函數的圖象與直線有兩個不同的交點.

由，令，有.

列表如下：

	+	0	-
	增函數	極大值	減函數

∴函數有極大值

∵時， ； ，

∴

(注:或①當時,至多有一個公共點；②當時,因為時, , 至多有一個公共點；③當時,因為, ,所以上有一個零點,又,而,所以在上存在一個零點,即時,有兩個零點)

(2)由題對恒成立,即對恒成立，即對恒成立，

設,則只需,由,

又∵

∴在為增函數

∴

又∵

∴存在使，即，則

又∵時， , 為減函數, 時, , 為增函數

∴

∴在為增函數

∴

∴ ,故實數的最大值為.