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O是平面上一定點，A，B，C平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R，則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、內心C、重心D、垂心
分析：作數量積
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
=
|
BC
| |
AB
|cos(π-B)
|
AB
|cos∠ABC
=-|
BC
|，同理
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
=|
BC
|．
由于動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R．可得
AP
=λ(
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
AC
|
AC
|cos∠ACD
)，λ∈R．得到
AP
•
BC
=λ(
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
)=0，即可判斷出．
解答：解：如圖所示，過點A作AD⊥BC，垂足為D點．精英家教網
則
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
=
|
BC
| |
AB
|cos(π-B)
|
AB
|cos∠ABC
=-|
BC
|，
同理
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
=|
BC
|，
∵動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|∠cosABC
+
AC
|
AC
|cos∠BCA
)，λ∈R．
∴
AP
=λ(
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
AC
|
AC
|cos∠ACD
)，λ∈R．
∴
AP
•
BC
=λ(
BC
•
AB
|
AB
|cos∠ABC
+
BC
•
AC
|
AC
|cos∠ACD
)=λ(-|
BC
|+|
BC
|)=0，
∴
AP
⊥
BC
，
因此P的軌跡一定通過△ABC的垂心．
故選：D．
點評：本題考查了數量積運算、三角形的垂心性質，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、內心C、重心D、垂心

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科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)，λ∈[0，+∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的
 
心．

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科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的
 
心．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O是平面上一定點，A﹑B﹑C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
| sinC
）λ∈[0，+∞），則點P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、內心C、重心D、垂心

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科目：高中數學 來源： 題型：

O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）
A、外心B、垂心C、內心D、重心

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