Question

已知函數f（x）=1+

1

x

-x^α（α∈R），且f（3）=-

5

3

．
（1）求α的值；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性，并給予證明．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意得1+

1

3

-3α=-

5

3

，從而解得；
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x，從而可得

x2-x-1

x

=0，從而求得函數的零點；
（3）先可判斷函數f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調減函數，再由定義法證明函數的單調性．

解答： 解：（1）由f(3)=-

5

3

，得1+

1

3

-3α=-

5

3

，
解得α=1．
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x．
令f（x）=0，即1+

1

x

-x=0，
即

x2-x-1

x

=0，
解得x=

1± 5

2

．
經檢驗，x=

1± 5

2

是1+

1

x

-x=0的根，
所以函數f（x）的零點為

1± 5

2

．
（3）函數f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調減函數．
證明如下：
設x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(1+

1

x1

-x1)-(1+

1

x2

-x2)=(x2-x1)(

1

x1x2

+1)，
因為x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調減函數．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用，屬于基礎題．