Question

已知函數f（x）=

x

3x+1

，數列{a_n}是首項等于1且公比等于f（1）的等比數列；數列{b_n}首項b₁=

1

3

，滿足遞推關系b_n+1=f（b_n）．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

an

bn

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）直接根據已知條件求出數列的通項公式．
（Ⅱ）利用上步的結論，使用乘公比錯位相減法求出結果．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=

x

3x+1

，
則：f（1）=

1

4

由于：數列{a_n}是首項等于1且公比等于f（1）的等比數列，
所以：an=(

1

4

)n-1
數列{b_n}首項b₁=

1

3

，滿足遞推關系b_n+1=f（b_n）．
則：bn+1=

bn

3bn+1

整理得：

1

bn+1

-

1

bn

=3
所以：{

1

bn

}是以

1

b1

=

1

3

為首項，3為公差的等差數列．
解得：bn=

1

3n

（Ⅱ）cn=

an

bn

=3n•(

1

4

)n-1
則：T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•(

1

4

)0+6•(

1

4

)1+…+3n•(

1

4

)n-1^n-1①

1

4

Tn=3•(

1

4

)1+6•(

1

4

)2+…+3n•(

1

4

)nⁿ②
則：①-②得：

3

4

Tn=3•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-

3n

4n

=4-

4+3n

4n

所以：Tn=

16

3

-

3n+4

3•4n-1

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，乘公比錯位相減法的應用，屬于基礎題型．