Question

已知函數f（x）=ax+2ln（ax+1），其中實常a∈（1，6）．
（Ⅰ）當a=2時，比較f（x）與6x²+6x的大小；
（Ⅱ）已知函數f（x）的圖象與直線y=6x相切，證明x∈（1，3）時，（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值,不等式比較大小

專題：轉化思想,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數f（x）的解析式，構造函數g（x）=f（x）-（6x²+6x），求導得到其最大值為g（0）=0，從而得到f（x）與6x²+6x的大小；
（Ⅱ）首先證明函數f（x）的圖象與直線y=6x的一個公共點時a的值為2，當a=2時構造函數h（x）=f(

x -1

2

)-

6x-6

x+3

=lnx+

x

-1-

6x-6

x+3

，求導后放縮得到
h′(x)≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

=

(x+5)(x+3)2-96x

4x(x+3)2

，然后記分子為p（x），二次求導后得到p（x）說明存在x₀∈（1，3），使p′（x₀）=0，且在（1，x₀）上遞減，在（x₀，3）上遞增，再由又p（1）=0，p（3）=0，說明x∈[1，3]時，p（x）_max=0，x∈（1，3）時恒有p（x）＜0，進而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上遞減，則（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6成立．

解答： （Ⅰ）解：a=2時，f（x）=2x+2ln（2x+1）（x＞-

1

2

），
記g（x）=f（x）-（6x²+6x），則g′(x)=f′(x)-(12x+6)=-4•

6x2+5x

2x+1

，
當x∈(-

1

2

，0)時，g′（x）＞0；當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=0時取得極大值，也是最大值為g（0）=0，
則g（x）=f（x）-（6x²+6x）≤g（0）=0，
即f（x）≤6x²+6x；
（Ⅱ）證明：O（0，0）是函數f（x）的圖象與直線y=6x的一個公共點，
f′(x)=a+

2a

ax+1

，f′(0)=3a．
若函數y=f（x）在（0，0）處相切，則3a=6，解得a=2，
當函數f（x）的圖象與直線y=6x不在（0，0）處相切時，設切點為P（x₀，y₀），
則y（x₀）=ax₀+2ln（ax₀+1）=6x₀，且y′(x0)=a+

2a

ax0+1

=6，
聯立消去x₀得，2ln

2a

6-a

+

6

a

-3=0，
設φ(a)=2ln

2a

6-a

+

6

a

-3，則φ′(a)=2•

6-a

2a

•

12

(6-a)2

-

6

a2

=

18(a-2)

a2(6-a)

，
當a∈（1，2）時，φ′（a）＜0；當a∈（2，6）時，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在a=2時有最小值為φ（2）=0，
∴函數φ（a）有唯一零點a=2．
即函數f（x）的圖象與直線y=6x相切，則a=2．
由a=2，得f(

x -1

2

)=

x

+lnx-1，
記h（x）=f(

x -1

2

)-

6x-6

x+3

=lnx+

x

-1-

6x-6

x+3

，
則h′(x)=

1

x

+

1

2 x

-

24

(x+3)2

，
∵x∈（1，3），∴

1

x

+

1

2 x

=

x +2

2x

=

2 x +4

4x

=

(x+5)-( x -1)2

4x

≤

x+5

4x

，
∴h′(x)≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

=

(x+5)(x+3)2-96x

4x(x+3)2

．
又記p（x）=（x+5）（x+3）²-96x=x³+11x²-57x+45，
則p′（x）=3x²+22x-57，p′（1）=-320，
說明存在x₀∈（1，3），使p′（x₀）=0．
∵p′（x）是二次函數，則x∈（1，x₀）時，p′（x）＜0；
x∈（x₀，3）時，p′（x）＞0，
∴p（x）在（1，x₀）上遞減，在（x₀，3）上遞增．
又p（1）=96-96=0，p（3）=288-288=0，
則x∈[1，3]時，p（x）_max=0，x∈（1，3）時恒有p（x）＜0，
進而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上遞減．
故x∈（1，3）時恒有h（x）＜h（1）=0，
即（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，對于（Ⅱ）的證明，對h（x）求導后的放縮是該題的難點和關鍵，體現了數學轉化思想方法，本題對于學生的邏輯思維能力要求過高，同時要求考生具有較強的計算能力，是難度較大的題目．