Question

11．某校在一次期末數學測試中，為統計學生的考試情況，從學校的2000
名學生中隨機抽取50名學生的考試成績，被測學生成績全部介于60分到140分之間（滿分150分），將統計結果按如下方式分成八組：第一組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．
（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；
（2）估計該校的2000名學生這次考試成績的平均分（可用中值代替各組數據平均值）；
（3）若從樣本成績屬于第一組和第六組的所有學生中隨機抽取2名，求他們的分差小于10分的概率．

Answer 1

分析 （1）根據所有頻率之和等于1求出第七組的頻率，然后繪圖即可；
（2）利用平均數計算公式計算即可；
（3）一一列舉所有滿足從中任取2人的所有基本事件，找到分差在（10分）以上的基本事件，利用概率公式計算即可

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知第七組的頻率
f₇=1-（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）×10=0.08．直方圖如圖．-----（3分）
                                                            

（2）估計該校的2 000名學生這次考試的平均成績為：
65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+1 15×0.06+125×0.08+135×0.04=97（分）．----------（6分）
（3）第六組有學生3人，分別記作A₁，A₂，A₃，第一組有學生2人，分別記作B₁，B₂，則從中任取2人的所有基本事件為（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（B₁，B₂），共10個．分差大于（10分）表示所選2人來自不同組，其基本事件有6個：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），所以從中任意抽取2人，
分差小于（10分）的概率P=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．---------（10分）

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖、平均數、古典概型的概率問題，屬于基礎題．