Question

設(shè)函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a＞0），且g（1）=-

a

2

（1）求證：函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)
（2）設(shè)m，n是函數(shù)g（x）的兩個零點(diǎn)，求|m-n|的取值范圍
（3）討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）法一：利用數(shù)形結(jié)合的思想證明，法二：由g(1)=a+b+c=-

a

2

得b=-

3

2

a-c；利用判別式法證明；
（2）由m，n是函數(shù)g（x）的兩個零點(diǎn)可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n；從而利用韋達(dá)定理求解；
（3）要知道函數(shù)在（0，2）上的零點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合g(1)=-

a

2

＜0；故只需要知道g（0）和g（2）的正負(fù)問題，g(0)g(2)=ac-c2=a2(

c

a

-

c2

a2

)，從而可知由

c

a

的取值決定，從而分類討論即可．

解答： 解：（1）證明：（法一）由題意，∵a＞0，
∴g(1)=-

a

2

＜0，g（x）為二次函數(shù)且開口向上；
∴結(jié)合函數(shù)圖象可知函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)；
（法二）由g(1)=a+b+c=-

a

2

得，
b=-

3

2

a-c；
∴△=b2-4ac=

9

4

a2-ac+c2=

9

4

[(a-

2c

9

)2+

32

81

c2]＞0；
∴函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)；
（2）∵m，n是函數(shù)g（x）的兩個零點(diǎn)，
∴ax²+bx+c=0的兩根為m，n；
∴m+n=-

b

a

，mn=

c

a

；
∴|m-n|2=(m+n)2-4mn=

b2-4ac

a2

=

9

4

-

c

a

+(

c

a

)2=(

c

a

-

1

2

)2+2≥2；
∴|m-n|的范圍為(

2

，+∞)；
（3）∵g(1)=-

a

2

＜0，g(0)g(2)=ac-c2=a2(

c

a

-

c2

a2

)；
①當(dāng)

c

a

＜0或

c

a

＞1，即c＜0或c＞a時，g（0）g（2）＜0在（0，2）上此時有一個零點(diǎn)；
②當(dāng)

c

a

=0或

c

a

=1，即c=0或c=a時，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">g(1)=-

a

2

＜0在（0，2）上此時有一個零點(diǎn)；
③當(dāng)0＜

c

a

＜1，即0＜c＜a時，g（0）=c＞0，g（2）=4a+2b+c=a-c＞0；
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">g(1)=-

a

2

＜0所以在（0，2）上此時有兩個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的應(yīng)用，屬于中檔題．