Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求證：對于任意，不等式恒成立；

（Ⅱ）設函數，，求函數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）0.

【解析】

（I）證明不等式恒成立，轉化為證明，構造新函數，利用導數研究函數的單調性，即可求解；

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知 ，要證，只需證，構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值，即可求解.

（Ⅰ）由題意，對于任意，要證，只需證，

令，則，

令，則，所以在上單調遞增，

所以，即，所以在上單調遞增，

所以，

故不等式恒成立．

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知 ，

要證：，只需證，

令，則，

令，則，

所以函數在上單調遞增，所以，即，

所以在上單調遞增，可得，

所以，所以得證，

即，即，所以，

又，所以當時，，且時，等號成立，

故的最小值為0．