Question

【題目】已知函數f（x）＝xlnx，函數g（x）＝kx﹣cosx在點處的切線平行于x軸.

（1）求函數f（x）的極值；

（2）討論函數F（x）＝g（x）﹣f（x）的零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）極小值為f（），無極大值（2）F（x）有且僅有2個零點

【解析】

（1）利用函數f（x）的導數判斷函數的單調性，然后求出函數的極值；

（2）因為F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，F'（x）＝sinx﹣lnx，設h（x）＝sinx﹣lnx，分類討論：（i）當x∈（e，+∞）時，h（x）＝F'（x）≤0，則F（x）單調遞減，此時可得F（x）在（e，）上存在唯一零點，也即在（e，+∞）上存在唯一零點；（ii）當x∈（，e]時，，則F'（x）在（，e]單調遞減，此時F（x）在（，e]上恒大于0，無零點；（iii）當x∈（0，1）時，，所以在（0，1）上單調遞減，此時F（x）在（，]上存在唯一零點，即F（x）在（0，]上存在唯一零點

解：（1）因為函數f（x）＝xlnx的定義域為（0，+∞），

所以，

令，即lnx+1＜0，解得0＜x，

所以f（x）的單調遞減區間為（0，），

令，即lnx+1＞0，解得，

所以f（x）的單調遞增區間為（，+∞），

綜上，f（x）的極小值為f（），無極大值；

（2）由，得）＝k﹣1＝0，故k＝1，所以g（x）＝x﹣cosx，

因為F（x）＝x﹣cosx﹣xlnx，，

設h（x）＝sinx﹣lnx，

（i）當x∈（e，+∞）時，，則單調遞減，

又F（e）＝﹣cose＞0， ，

故F（x）在（e，）上存在唯一零點，也即在（e，+∞）上存在唯一零點；

（ii）當x∈（，e]時， ，則在單調遞減，

因為，

所以存在，使得，且在上，在（x0，e]上，

所以為F（x）在（，e]上的最大值，

又因為F（e）＝﹣cose＞0，F（）（1﹣ln）＞0，

所以F（x）在（，e]上恒大于0，無零點；

（iii）當x∈（0，1）時，，

所以在（0，1）上單調遞減，

當x∈[1，]時，，

設t（x）＝xcosx﹣1，所以，

所以t（x）在[1，]上單調遞減，

所以t（x）＜t（1）＝cos1﹣1＜0，即，

所以在（0，]上單調遞減，

因為，所以F（x）在上單調遞增，

因為F（）（1﹣ln）＞0，

，

所以F（x）在（，]上存在唯一零點，即F（x）在（0，]上存在唯一零點，

綜上，F（x）有且僅有2個零點