Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足；數列的前項和為，且滿足， ， .

（1）求數列、的通項公式；

（2）是否存在正整數，使得恰為數列中的一項？若存在，求所有滿足要求的；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）滿足要求的為， .

【解析】試題分析：（1）由和項與通項關系得,根據等比數列定義及通項公式可得,由疊乘法可得,再由和項與通項關系得,根據等差數列定義及通項公式可得（2）先研究數列增減性: ,再研究確定可能情況:2,3,7,即得滿足要求的

試題解析：解：（1）因為，所以當時， ，

兩式相減得，即，又，則，

所以數列是以為首項，2為公比的等比數列，故.

由得， ， ，…， ， ，

以上個式子相乘得，即①，當時， ②，

兩式相減得，即（），

所以數列的奇數項、偶數項分別成等差數列，

又，所以，則，

所以數列是以為首項，1為公差的等差數列，因此數列的通項公式為

（2）當時， 無意義，

設（， ），顯然.

則 ，即.

顯然，所以，

所以存在，使得， ，

下面證明不存在，否則，即，

此式右邊為3的倍數，而不可能是3的倍數，故該式不成立.

綜上，滿足要求的為， .