Question

【題目】己知函數f（x）=loga（3x+1），g（x）=loga（1﹣3x），（a＞0且a≠1）．
（1）求函數F（x）=f（x）﹣g（x）的定義域；
（2）判斷F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并說明理由4；
（3）確定x為何值時，有f（x）﹣g（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）

解：F（x）=f（x）﹣g（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），

∴ ，解得 ．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）的定義域是（﹣ ， ）

（2）

解：由（1）知F（x）定義域關于原點對稱，

∵F（x）=loga（3x+1）﹣loga（1﹣3x），

F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x）．

∴F（x）=f（x）﹣g（x）是奇函數

（3）

解：∵f（x）﹣g（x）＞0，

∴f（x）＞g（x），

即 loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），

① 當a＞1時， ，解得 0＜x＜ ．

②當0＜a＜1時， ，解得﹣ ．

綜上所述：當a＞1時，f（x）﹣g（x）＞0的解是0＜x＜ ．

當0＜a＜1時，f（x）﹣g（x）＞0的解是﹣

【解析】（1）由真數大于零即可列出方程組 ，解出即可；（2）由F（﹣x）=loga（﹣3x+1）﹣loga（1+3x）=﹣F（x），再結合定義域即能得出答案．（3）不等式f（x）﹣g（x）＞0轉化為loga（3x+1）＞loga（1﹣3x），然后分當a＞1時和0＜a＜1兩種情況進行討論，利用對數函數的單調性列出方程組即得答案．
【考點精析】掌握對數函數的定義域是解答本題的根本，需要知道對數函數的定義域范圍:（0，+∞）．