Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），在以原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的傾斜角；

（2）設點， 和交于兩點，求.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）曲線C的參數方程為（α為參數），利用平方關系可得曲線C的普通方程．由直線l的極坐標方程為，展開化為：ρsinθ+ρcosθ=2，利用互化公式可得：直線l的普通方程，利用斜率與傾斜角的關系即可得出．

（2）顯然點在直線l上．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是為參數）．將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程，得到關于t的一元二次方程，此方程的兩根為直線l與曲線C的交點A，B對應的參數tA，tB，利用|PA|+|PB|=|tA|+|tB|即可得出．

試題解析：

（Ⅰ）由消去參數α，得，

即C的普通方程為．

由，得ρsinθ+ρcosθ=2，…（*）

將代入（*），化簡得，

所以直線l的傾斜角為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點P（0，2）在直線l上，可設直線l的參數方程為為參數），即為參數），代入并化簡，得．

．

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，

則，所以t1＜0，t2＜0，

所以=．