Question

【題目】如圖，長方體的底面是邊長為3的正方形，且，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）連接．

由長方體的性質知，且四邊形是平行四邊形，所以，………………1分

因為，所以，，

所以，．………………3分

由于平面，平面，平面，平面，

所以平面，平面．

又，所以平面平面．………………5分

（Ⅱ）以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為，，所以，，

則，，，，，

所以，，，．…………7分

設平面的法向量為，則

即，令，則．………………8分

又設平面的法向量為，則

即，令，則．………………10分

所以，………………11分

因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．………………12分

【命題意圖】本題主要考查面面平行的判定定理、二面角、空間向量的應用，意在考查學生的空間想象能

力、邏輯推理能力、轉化能力、運算求解能力．