Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點是，準線是，拋物線上任意一點到軸的距離比到準線的距離少2.

（1）寫出焦點的坐標和準線的方程；

（2）已知點，若過點的直線交拋物線于不同的兩點（均與不重合），直線分別交于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）焦點為，準線的方程為；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由已知得拋物線的準線方程為，從而得拋物線方程，焦點坐標；

（2）設直線的方程為：，令,直線方程代入拋物線方程，整理后由韋達定理得，由直線方程求出的坐標，計算即可證得結論．

解：（1）由題意知，任意一點到焦點的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義得拋物線標準方程為，

所以拋物線的焦點為，準線的方程為；

（2）設直線的方程為：，令，

聯立直線的方程與拋物線的方程，消去得，

由根與系數的關系得：

直線方程為：，

當時，，∴，同理得：，

∴，

∴

，

∴，∴.