Question

14．已知數列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$，…，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，那么數列{b_n}的前n項和S_n為$\frac{4n}{n+1}$．

Answer 1

分析 確定b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），疊加可得結論．

解答 解：a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{4n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的通項與求和，考查裂項方法的運用，屬于中檔題．