Question

9．拋物線y²=2px（p＞0）的一條弦AB過焦點F，且|AF|=2，|BF|=3，則拋物線的方程為y²=$\frac{24}{5}x$．

Answer 1

分析 首先由拋物線y²=2px（p＞0）的一條弦AB過焦點F，且|AF|=2，|BF|=3，可把點A，B的坐標設出來，然后應用圓錐曲線的焦半徑公式把|AF|+|BF和|AF|•|BF|用x₁，x₂表示出來，然后解出p的值即可得到拋物線方程．

解答 解：由拋物線y²=2px的一條弦AB過焦點F，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=x₂+$\frac{p}{2}$，則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=5，
∴x₁+x₂=5-p，而x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
由|AF|•|BF|=x₁•x₂+$\frac{p}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}}{4}$=6．
得$\frac{{p}^{2}}{2}$+$\frac{p}{2}$•（5-p）=6，即$\frac{5p}{2}$=6，
∴p=$\frac{12}{5}$，拋物線方程為y²=$\frac{24}{5}$x．
故答案為：y²=$\frac{24}{5}x$．

點評 此題主要考查拋物線標準方程的求法，其中涉及到圓錐曲線的焦半徑公式的應用，在高考中屬于重點的考點，且有一定的難度希望同學們注意．