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已知函數f（x）bx3+ax2-3x
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，求a，b的值；
（2）若f（x）為實數集R上的單調函數，且b≥-1，設點P的坐標為（a，b），試求出點P的軌跡所形成的圖形的面積S．

解：（1）f（x）=bx3+ax2-3x，f′（x）=3bx2+2ax-3
∵f（x）在x=1和x=3處取得極值
∴x=1和x=3是f′（x）=3bx2+2ax-3=0的兩個根
代入方程解之得a=2，b=-
（2）當b=0時，由f（x）在R上單調知a=0
當b≠0時，由f（x）在R上單調?f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
f′（x）=3bx2+2ax-3∴△=4a2+36b≤0可得b≤-a2
∴面積S=
分析：（1）先求出函數的導函數，然后利用f（x）在x=1和x=3處取得極值是導函數方程的兩個根，建立方程組，解之即可；
（2）根據函數的單調性轉化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立關系式，最后利用定積分表示出所圍成圖形的面積即可．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值以及單調性，同時考查了利用定積分求圍成圖形的面積，考查的知識點較多，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，試討論函數F（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設F(x)=
h(x)
f(x)
，且b＜0，試判斷函數F（x）的單調性；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
bx+c
x+1
的圖象過原點，且關于點（1，1）成中心對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若數列{an}（n∈N*）滿足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
an
)]2，求數列{an}的通項公式an．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年廣東省揭陽市高中畢業班期末質量測試數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設，且b＜0，試判斷函數F（x）的單調性；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=數學公式+bx+c在x=1及x=3時取到極值．
（1）求實數a，b；
（2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求實數c的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x）-cx2在[0，4]上是增函數，求實數c的取值范圍．

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