Question

7．（1）已知直線l₁經過點A（3，a）、B（a-2，3），直線l₂經過點C（2，3）、D（-1，a-2），若l₁⊥l₂求a的值？
（2）已知直線l過點P（-1，-2）且與x軸、y軸的負半軸交于A、B兩點，求△AOB面積的最小值及此時l的方程？

Answer 1

分析 （1）當直線l₁和l₂中有一條斜率不存在時，經檢驗不符合條件．由 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，求得a的值；
（2）由題意設直線的截距式方程為為$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＜0），可得$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面積S≥4，可得此時直線的方程．

解答 解：當a=5時，直線l₁的斜率不存在，此時直線l₂的斜率為0，滿足l₁⊥l₂ ．
當a≠5時，由l₁⊥l₂ ，可得 k₁k₂=-1，即$\frac{-3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}$=-1，化簡可得 a=-6．
所以l₁⊥l₂，
a的值是-6或5．
（2）由題意設直線的截距式方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＜0），
∵直線過P（-1，-2），∴$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，
∴1=$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，∴ab≥8，
當且僅當a=-2且b=-4時取等號，
∴△AOB的面積S=ab≥8，
∴△AOB面積的最小值為8，此時直線l的方程為$\frac{x}{-2}+\frac{y}{-4}$=1，
化為一般式方程可得2x+y+4=0．

點評 本題主要考查直線的斜率公式，兩直線垂直的性質，體現了分類討論的數學思想，考查直線的截距式方程，涉及基本不等式的應用，屬中檔題．