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4.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和為$\frac{16}{9}$.

分析 利用累加法推知數(shù)列{an}的通項公式an=$\frac{n(1+n)}{2}$,則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),由此求得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和.

解答 解:因為an+1-an=n+1,
所以a2-a1=1+1,
a3-a2=2+1,
a4-a3=3+1,

an-an-1=(n-1)+1,
以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,
把a(bǔ)1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=$\frac{n(1+n)}{2}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$═$\frac{2}{n(n+1)}$=2($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項的和Sn=2(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)=2(1-$\frac{1}{n+1}$)=$\frac{2n}{n+1}$,
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和為:$\frac{2×8}{8+1}$=$\frac{16}{9}$.
故答案是:$\frac{16}{9}$.

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列的求和.注意累積法和裂項相消法的合理應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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