Question

16．給定兩個命題p：函數y=x²+8ax+1在[-1，1]上單調遞增；q：方程$\frac{x^2}{a+2}+\frac{y^2}{a-1}$=1表示雙曲線，如果命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p、q為真時a的范圍，由命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題得p真q假，p假q真列式計算即可．

解答 解：對于命題p：函數y=x²+8ax+1的對稱軸為x=-4a
由函數y=x²+8ax+1在[-1，1]上單調遞增得-4a≤-1，解得$a≥\frac{1}{4}$，
對于命題q：由方程$\frac{x^2}{a+2}+\frac{y^2}{a-1}=1$表示雙曲線得（a+2）（a-1）＜0，解得-2＜a＜1，
命題“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，有兩種情況：
（1）當p真q假時，$a≥\frac{1}{4}$，且a≥1，或a≤-2，解得a≥1
（2）當p假q真時，$a＜\frac{1}{4}$，且-2＜a＜1，解得-2＜a＜$\frac{1}{4}$
綜上可得，實數a的取值范圍為-2＜a＜$\frac{1}{4}$或a≥1．

點評 本題考查了命題真假的應用，屬于基礎題．