Question

1．已知直線y=b與函數f（x）=2x+3和g（x）=ax+lnx分別交于A，B兩點，若|AB|的最小值為2，則a+b=2．

Answer 1

分析 設A（x₁，b），B（x₂，b），則2x₁+3=ax₂+lnx₂=b，表示出x₁，求出|AB|，利用導數，結合最小值也為極小值，可得極值點，求出最小值，解方程可得a=1，進而得到b，求出a+b．

解答 解：設A（x₁，b），B（x₂，b），可設x₁＜x₂，
則2x₁+3=ax₂+lnx₂=b，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（ax₂+lnx₂-3），
∴|AB|=x₂-x₁=（1-$\frac{1}{2}$a）x₂-$\frac{1}{2}$lnx₂+$\frac{3}{2}$，
令y=（1-$\frac{1}{2}$a）x-$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{3}{2}$，
則y′=1-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{x}$=$\frac{（2-a）x-1}{2x}$（x＞0），
由|AB|的最小值為2，
可得2-a＞0，
函數在（0，$\frac{1}{2-a}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{2-a}$，+∞）上單調遞增，
∴x=$\frac{1}{2-a}$時，函數y取得極小值，且為最小值2，
即有（1-$\frac{1}{2}$a）•$\frac{1}{2-a}$-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2-a}$+$\frac{3}{2}$=2，
解得a=1，
由x₂=1，
則b=ax₂+lnx₂=1+ln1=1，
可得a+b=2．
故答案為：2．

點評 本題考查兩點間距離的最小值的求法，是中檔題，考查學生分析解決問題的能力，正確求導確定函數的單調性是關鍵．解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．