Question

20．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個棱長都相等，E為BC的中點，動點F在CC₁上，且不與點C重合
（1）當CC₁=4CF時，求證：EF⊥A₁C
（2）設二面角C-AF-E的大小為α，求tanα的最小值．

Answer 1

分析 （1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，則EN⊥側面A₁C，NF為EF在側面A₁C內的射影，設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個棱長為4，則CN=1，NF∥AC₁，推導出C₁⊥A₁C，NF⊥A₁C，由此能證明EF⊥A₁C．
（2）連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME，則EN⊥側面A₁C，根據三垂線定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C-AF-E的平面角由此能示出tanα的最小值．

解答 證明：（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，
由直棱柱的性質可知，底面ABC⊥側面A₁C，
∴EN⊥側面A₁C，NF為EF在側面A₁C內的射影，
設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個棱長為4，
∵CC₁=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，
則由$\frac{CF}{C{C}_{1}}$=$\frac{CN}{CA}$=$\frac{1}{4}$，得NF∥AC₁，
又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C，
由三垂線定理可知EF⊥A₁C．
解：（2）連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME
由（I）可知EN⊥側面A₁C，根據三垂線定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=α，
設∠FAC=θ，則0°＜θ≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=$\sqrt{3}$，
在直角三角形AMN中，MN=3sinθ
故tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3sinθ}$，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故當θ=45°時，tanα達到最小值，
∴tanα的最小值為anα=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．