Question

20．已知F₁，F₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長a₂，焦距2c．由橢圓及雙曲線定義用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根據余弦定理可得到a₁，a₂與c的關系，轉化為離心率，再由基本不等式得結論．

解答 解：如圖，設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，則根據橢圓及雙曲線的定義：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
設|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，則：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{4}$，
化簡得：（$2-\sqrt{2}$）a₁²+（$2+\sqrt{2}$）a₂²=4c²，
即$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
又∵$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}≥\frac{2\sqrt{{2}^{2}-2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}≤4$，即e₁•e₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來，是中檔題．