Question

19．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，M，N分別為C與x軸，y軸的交點．
（1）寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；
（2）設MN的中點為P，求以P為圓心，且過原點的圓的參數方程．

Answer 1

分析 （1）由$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，得$ρ（{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）=1$，利用互化公式可得：C的直角坐標方程．θ=0，$θ=\frac{π}{2}$時，代入即可得出M，N的坐標．
（2）M點的直角坐標為（2，0），N點的直角坐標為$（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，可得中點P點的直角坐標為$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，且r=|OP|，即可得出所求的圓的參數方程．

解答 解：（1）由$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，得$ρ（{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）=1$，
從而C的直角坐標方程為$\frac{1}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y=1$，
θ=0時，ρ=2，所以M（2，0），
$θ=\frac{π}{2}$時，$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以$N（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{π}{2}}）$；
（2）M點的直角坐標為（2，0），N點的直角坐標為$（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$，
所以P點的直角坐標為$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，且$r=|{PO}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以所求圓的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cosθ}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數）．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、中點坐標公式、圓的參數方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．