Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，圓C的參數方程為

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數）．①設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；②判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,點的極坐標和直角坐標的互化

專題：坐標系和參數方程

分析：①利用極坐標化為直角坐標的公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到點M，N的直角坐標，再利用中點坐標公式即可得到點P的坐標，進而得到直線l的方程．
②把圓C的參數方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d，與半徑r比較即可得出位置關系．

解答：解：①直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，分別化為直角坐標：M（2，0），N(0，

2 3

3

)．
∴線段MN的中點P的坐標為(1，

3

3

)，∴kOP=

3

3

．∴直線OP的平面直角坐標方程為：y=

3

3

x．
②由圓C的參數方程為

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數）消去參數θ可得(x-2)2+(y+

3

)2=4，可得圓心C(2，-

3

)，半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離d=

|2+3|

12+(- 3 )2

=

5

2

＞2=r．
因此直線l與圓C相離．

點評：本題考查了極坐標化為直角坐標的公式、中點坐標公式、點斜式方程、參數方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系的判定等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．