Question

選修4-4：參數方程選講
已知平面直角坐標系xOy，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為(2

3

，

π

6

)，曲線C的極坐標方程為ρ2+2

3

ρsinθ=1．
（Ⅰ）寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數）距離的最小值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中點坐標公式、點到直線的距離公式及三角函數的單調性即可得出，

解答：解 （1）∵P點的極坐標為(2

3

，

π

6

)，
∴xP=2

3

cos

π

6

=2

3

×

3

2

=3，yP=2

3

sin

π

6

=2

3

×

1

2

=

3

．
∴點P的直角坐標(3，

3

)
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入ρ2+2

3

ρsinθ=1可得x2+y2+2

3

y=1，即x2+(y+

3

)2=4
∴曲線C的直角坐標方程為x2+(y+

3

)2=4．
（2）曲線C的參數方程為

x=2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ為參數），直線l的普通方程為x-2y-7=0
設Q(2cosθ，-

3

+2sinθ)，則線段PQ的中點M(

3

2

+cosθ，sinθ)．
那么點M到直線l的距離d=

| 3 2 +cosθ-2sinθ-7|

12+22

=

|cosθ-2sinθ- 11 2 |

5

=

5 sin(θ-φ)+ 11 2

5

.≥

- 5 + 11 2

5

=

11 5

10

-1，
∴點M到直線l的最小距離為

11 5

10

-1．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于中檔題．