Question

(溫州十校模擬)如下圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥ABCD，四邊形ABCD是矩形．E、F分別是AB、PD的中點．若PA=AD=3，．

(1)求證：AF∥平面PCE；

(2)求點F到平面PCE的距離；

(3)求直線FC與平面PCE所成角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)取PC的中點G，連結EG，FG， 又由F為PD的中點，則． 又由已知有，∴FGAE． ∴四邊形AEGF是平行四邊形． ∴AE∥EG． 又 平面PCE，平面PCE． ∴AF∥平面PCE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分) (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴平面PAD⊥ABCD． 由ABCD是矩形有CD⊥AD． ∴CD⊥平面PAD．∴AF⊥CD． 又PA=AD=3，F是PD的中點，∴AF⊥PD． ∵PD∩CD=D，∵AF⊥平面PCD． 由EG∥AF，∴EG⊥平面PCD． ∴在平面PCD內，過F作FH⊥PC于H， 由于平面PCD∩平面PCE=PC，則FH的長就是點F到平面PCE的距離． (8分) 由已知可得 ，，． 由于CD⊥平面PAD，∴∠CPD=30°． ∴． ∴點F到平面PCE的距離為．　　　　　　　　　　　　　(10分) (3)由(2)知∠FCH為直線FC與平面PCE所成的角． 在Rt△CDF中，，， ∴． ∴． ∴直線FC與平面PCE所成角的大小為．　　　　　　(14分)