Question

(溫州十校模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求證為定值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b=1． ∴，即． ∴． ∴橢圓C的方程為．　　　　　　　　　　　　　(6分) (2)解法一：設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為，，．易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)． ∵，∴． ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　(9分) 將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓方程中， 得． 去分母整理得．　　　　　　　　　　　　(12分) 同理，由可得． ∴，是方程的兩個(gè)根， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15分) 解法二：設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為，，．又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)． 顯然直線l存在斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k(x－2)．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得．　　　　　　　　　　　　　　(9分) ∴．　　　　　　　　　　　　(12分) 又∵，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得 ，， ∴．　　　　(15分)