Question

【題目】設數列的前n項和為,對一切,點都在函數的圖像上.

（1）證明：當時,;

（2）求數列的通項公式;

（3）設為數列的前n項的積,若不等式對一切成立,求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2） （3）

【解析】

（1）根據點在函數圖像上,代入點坐標,化簡后結合即可證明.

（2）根據（1）所得遞推公式,遞推作差后可得奇偶項分別為等差數列,根據和公差即可求得通項公式.

（3）根據為數列,代入的通項公式求得的表達式,構造函數;代入的通項公式求得函數,根據恒成立求得即可.通過的單調性求得,代入解不等即可得實數a的取值范圍.

（1）證明: 因為對一切,點都在函數的圖像上

所以,化簡可得

當時,

兩式相減可得

即（）

原式得證.

（2）由（1）可知

所以

兩式相減,可得

所以數列的奇數項公差為4的等差數列,偶數項公差為4的等差數列.

由（1）可知

則當時, 求得

則當時, ,即求得

所以當為奇數時,

所以當為偶數時,

綜上可知數列的通項公式為

（3）因為

所以

所以

又因為

所以對一切成立

即對一切成立

只需滿足即可

令

則

所以

所以

即為單調遞減數列

所以

所以即可,化簡可得

解不等式可得,或

故實數a的取值范圍為