Question

【題目】如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，且側(cè)面與底面互相垂直，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，為棱上一點(diǎn).

（1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

(1)根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，要使得平面；即，然后確定出點(diǎn)E的位置即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后根據(jù)二面角的夾角公式求得余弦值即可.

（1）在中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

,是等邊三角形

為的重心

平面, 平面，

,即點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)

（2）等邊中，，，，交線為，

如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

點(diǎn)在平面上，所以二面角與二面角為相同二面角.

設(shè),則，

設(shè)平面的法向量 ，則

即，取，則

又平面，,

則 ,

又二面角為鈍二面角，所以余弦值為 .