Question

【題目】已知是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為，第n項之后的各項的最小值記為，設.

（1）若為，是一個周期為4的數列，寫出的值；

（2）設d為非負整數，證明：）的充要條件是是公差為d的等差數列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據定義依次找出即可求出的值；

（2）根據定義分別證明充分性和必要性，d為非負整數，是公差為d的等差數列，，易證出充分性，證明必要性先結合反證法證明數列不是遞減，再證明是等差數列.

（1）若為，是一個周期為4的數列，

，

，

，

；

（2）充分性：設d為非負整數， 是公差為d的等差數列，

則，

所以；

必要性：設d為非負整數，

若，假設是第一個使的項，

則

與相矛盾，所以是一個不遞減的數列，

則，即

所以是公差為d的等差數列.