Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x，y滿足f （x+y）=f（x）+f （y）+0.5，且f （0.5）=0，當x＞0.5時，f（x）＞0，給出以下結(jié)論：
①f （0）=-0.5；
②f （-1）=-1.5；   
③f（x）為R上的減函數(shù)；   
④f（x）+0.5為奇函數(shù)；
⑤f（x）+1為偶函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①，由題意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；
②，取x=0.5，y=-0.5，可得f（-0.5），取x=y=-0.5代入可得f（-1）；
③，由①②知f（0）＞f（-1），f（x）不為R上的減函數(shù)，；
④，令y=-x代入可得f（x）+0.5+f（-x）+0.5=0；
⑤，f（0.5）+1≠f（-0.5）+1，可得f（x）+1不為偶函數(shù)；

解答 解：對于①，由題意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+0.5，f（0）=-0.5故①正確；
對于②，取x=0.5，y=-0.5，可得f（0）=f（0.5）+f（-0.5）+0.5⇒f（-0.5）=-1，取x=y=-0.5代入可得f（-1）=f（-0.5）+f（-0.5）+0.5=-1.5，故②正確；
對于③，由①②知f（0）＞f（-1），∴f（x）不為R上的減函數(shù)，故③錯；
對于④，令y=-x代入可得f（0）=f（x）+f（-x）+0.5⇒f（x）+0.5+f（-x）+0.5=0，即 f（x）+0.5為奇函數(shù)，故④正確；
對于⑤，f（0.5）+1=1，f（-0.5）+1=0，∴f（x）+1=f（-x）+1不恒成立，f（x）+1不為偶函數(shù)，故⑤錯；
故答案為：①②④

點評 本題考查命題真假的判斷，賦值法、函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬中檔題．