Question

已知函數f（x）=2^-x2+ax+3
（1）當a=0時，求函數f（x）的值域；
（2）若A={x|y=lg（5-x）}，函數f（x）=2^-x2+ax+3在A內是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：指數型復合函數的性質及應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）換元把函數可轉化為：y=2^t，t≤3，根據指數函數的單調性可判斷：0＜y≤2³=8，
（2）根據復合函數的單調性判斷g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是單調遞增函數，即得出

a

2

≥5，求解即可a≥10．

解答： 解：（1）當a=0時，函數f（x）=2 -x2+3，
令t（x）=3-x²，t≤3，
∴函數可轉化為：y=2^t，t≤3，
根據指數函數的單調性可判斷：0＜y≤2³=8，
故函數f（x）的值域：（0，8]．
（2）∵A={x|y=lg（5-x）}，
∴A=（-∞，5），
∵函數f（x）=2^-x2+ax+3在A內是增函數，
∴g（x）=-x²+ax+3，在（-∞，5）是單調遞增函數，
即

a

2

≥5，a≥10
故a的取值范圍：a≥10，

點評：本題綜合考查了指數函數，二次函數的單調性，運用求解問題，屬于中檔題，關鍵是等價轉化．