Question

不等式ax²+（a+1）x+1＜0的解集不是空集，則實數a的取值范圍是

a≠1

．

Answer 1

分析：針對a＞0，a=0，a＜0進行分類討論，分別由不等式和方程的關系可得a的范圍，最后取并集即可得到a的取值范圍．

解答：解：當a=0時，不等式ax²+x+1＜0化為x+1＜0，可解得x＜-1，不是空集，滿足題意；
當a＞0時，對應的二次函數y=ax²+（a+1）x+1，開口向上，需一元二次方程ax²+x+1=0有兩個不同的根，
即△=（a+1）²-4a＞0，解得a≠1，故0＜a＜1或a＞1；
當a＜0時，對應的二次函數y=ax²+（a+1）x+1，開口向下，符合題意，
綜上可得，實數a的取值范圍是：a≠1．
故答案為；a≠1．

點評：本題考查一元二次不等式的解法．注意問題的等價轉化和分類討論的思想，二次函數的問題經常會利用函數圖象進行處理，屬于基礎題．