Question

（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對一切x∈R恒成立，求實數a的取值范圍
（2）已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x∈（0，+∞）時，f（x）=ax+2lnx，（a∈R），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0對一切x∈R恒成立，當2+a=0時，容易驗證是否成立；當2+a≠0時，必須滿足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a即可；
（2）設x＜0，則-x＞0，而函數f（x）是奇函數，可得f（x）=-f（-x）即可．

解答：解：（1）不等式ax²+4x+a＞1-2x²對一切x∈R恒成立?（2+a）x²+4x+a-1＞0對一切x∈R恒成立，
當2+a=0時，化為4x-3＞0對一切x∈R不恒成立，應舍去．
當2+a≠0時，必須滿足

2+a＞0 △=16-4(2+a)(a-1)＜0

，解得a＞2或a＜-3．
綜上可知：實數a的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
（2）設x＜0，則-x＞0，而函數f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-[-ax+2ln（-x）]=ax-2ln（-x）．
∴f(x)=

ax+2lnx，x＞0 ax-2ln(-x)，x＜0

．

點評：熟練掌握二次函數的性質、函數的奇偶性等是解題的關鍵．