Question

已知不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集，則a²+b²-2b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集寫出關于a，b的約束條件，再畫出可行域，設z=a²+b²-2b，再利用z的幾何意義求最值即可．

解答：解：不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集等價于：
b²-4a²≤0且a＞0，b＞0
得（b+2a）（b-2a）≤0，且a＞0，b＞0
即：b+2a與b-2a異號且a＞0，b＞0
不難畫出點P（a，b）的可行域，
記A（0，1），|PA|²=a²+（b-1）²，a²+b²-2b=|PA|²-1，
|PA|的最小值即A點到直線b-2a=0的距離為

5

5

．
故：a²+b²-2b∈[-

4

5

，+∞）．
故答案為：[-

4

5

，+∞)．

點評：借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．線性規劃中的最優解，通常是利用平移直線法確定．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．