Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t），記函數f（x）=ax²+（a-b）x-c．
（1）求證：函數y=f（x）必有兩個不同的零點．
（2）若函數y=f（x）的兩個零點分別為m，n，求|m-n|的取值范圍．
（3）是否存在這樣實數的a、b、c及t，使得函數y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]．若存在，求出t的值及函數y=f（x）的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得ac＞0，對于函數f（x）=ax²+（a-b）x-c，由△=（a-b）²+4ac＞0，可得f（x）
必有2個不同零點．
（2）化簡|m-n|²等于(

c

a

)2+8•

c

a

+4，由不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t），可得有

c

a

=t，化簡|m-n|²
=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），利用二次函數的性質可得|m-n|²的范圍，從而求得|m-n|的取值范圍．
（3）假設存在滿足題意的實數a、b、c及t，化簡f（x）等于a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），f（x）的對稱軸
為x=-1-

t

2

＜-

3

2

，分-1-

t

2

≤-2和-1-

t

2

＞-2兩種情況，根據函數y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，
分別求得a、b、c及t的值，從而得到結果．

解答：解：（1）由題意知，∵a+b+c=0，且-

b

2a

＞1，∴a＜0且

c

a

＞1，∴ac＞0．
對于函數f（x）=ax²+（a-b）x-c．有△=（a-b）²+4ac＞0，∴f（x）必有2個不同零點．
（2）|m-n|2=(m+n)2-4mn=

(b-a)2+4ac

a2

=

(-2a-c)2+4ac

a2

=(

c

a

)2+8•

c

a

+4
由不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t）可知，ax²+bx+c=0的兩個解分別為1和t（t＞1），
由韋達定理有

c

a

=t，∴|m-n|²=t²+8t+4=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），
∴|m-n|²＞5²-12=13，∴|m-n| ＞ 

13

，
即|m-n|的取值范圍為（

13

，+∞）．
（3）假設存在滿足題意的實數a、b、c及t，∴f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-

b

a

)x-

c

a

]=a[x2+(1+

a+c

a

)x-

c

a

]
=a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的對稱軸為x=-1-

t

2

＜-

3

2

，
∴f（x）在[-2，1]的最小值為f（1）=3a=-6，則a=-2．
要使函數y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，只要f（x）_max=12即可．
①若-1-

t

2

≤-2   ，  即t≥2時，f（x）_max=f（-2）=123，則有6t=12，∴t=2．
此時，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x²-8x+4．
②若-1-

t

2

＞-2   ，  ∴1＜t＜2，此時，f(x)max=f(-1-

t

2

)=

t2+8t+4

2

=12，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去 ）．
綜上所述：當a=-2，b=6，c=-4，t=2時，函數y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，
此時函數的表達式為f（x）=-2x²-8x+4．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，二次函數的性質應用，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的
數學思想，屬于基礎題．