Question

已知數(shù)列和滿足：，，，其中為實數(shù)，為正整數(shù)。
（Ⅰ）證明：對任意的實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，即
，矛盾。
所以不是等比數(shù)列。
（Ⅱ）證明：
。
又。由上式知，
故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。
（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）得，于是
，
當(dāng)時，，從而。上式仍成立。
要使對任意正整數(shù)，都有。
即。
令，則
當(dāng)為正奇數(shù)時，：當(dāng)為正偶數(shù)時，，
的最大值為。
于是可得。
綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有；
的取值范圍為。

略