Question

2．若二項式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展開式中只有第4項的二項式系數最大，則展開式中常數項為15．

Answer 1

分析 根據題意求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式，令x的冪指數等于0，求得r的值，即可求得展開式中常數項的值．

解答 解：由二項式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$展開式中只有第4項的二項式系數最大，
即展開式有7項，∴n=6；
∴展開式中的通項公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^{6-$\frac{3}{2}$r}；
令6-$\frac{3}{2}$r=0，求得r=4，
故展開式中的常數項為（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$=15．
故答案為：15．

點評 本題主要考查了二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．