Question

13．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x，銳角△ABC的三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（C）=1，求m=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將f（x）化簡，結合三角函數的性質求解即可．
（Ⅱ）利用f（C）=1，求解角C，由余弦定理建立等式關系，利用三角函數的有界限求解范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinx•cosx+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∴函數f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$是單調遞增，
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函數f（x）的單調遞增區間$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$，最小正周期為π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1
∴$f（C）=sin（2C+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$．
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$
∴$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$k∈Z，
∵△ABC是銳角三角形，
∴$C=\frac{π}{3}$．
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得c²=a²+b²-ab
∴$m=\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}=\frac{{2（{a^2}+{b^2}）}}{ab}-1=2（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）-1$…①．
∵△ABC為銳角三角形
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．
由正弦定理得：$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{{sin（\frac{2}{3}π-A）}}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{2tanA}+\frac{1}{2}∈（{\frac{1}{2}，2}）$…②．
由②式設t=$\frac{b}{a}$，則$t∈（\frac{1}{2}，2）$，
那么①式化簡為m=$2（t+\frac{1}{t}）-1$．
由y=$t+\frac{1}{t}≥2，（t=1）$時取等號．
∴m≥3．
根據勾勾函數的性質可得：（$\frac{1}{2}$，1）是單調遞減，（1，2）是單調遞增，
∴m＜4
故得$m=\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}∈[{3，4}）$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，正余弦定理的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．