Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中a₂=3，S₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=3，S₅=25．
∴a₁+d=3，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=25，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．