Question

1．某地政府落實黨中央“精準扶貧”政策，解決一貧困山村的人畜用水困難，擬修建一個底面為正方形（由地形限制邊長不超過10m）的無蓋長方體蓄水池，設計蓄水量為800m³．已知底面造價為160元/m²，側面造價為100元/m²．
（I）將蓄水池總造價f（x）（單位：元）表示為底面邊長x（單位：m）的函數；
（II）運用函數的單調性定義及相關知識，求蓄水池總造價f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （I）設蓄水池高為h，則$h=\frac{800}{x^2}$，利用底面造價為160元/m²，側面造價為100元/m²，即可將蓄水池總造價f（x）（單位：元）表示為底面邊長x（單位：m）的函數；
（II）確定y=f（x）在x∈（0，10]上單調遞減，即可求蓄水池總造價f（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設蓄水池高為h，則$h=\frac{800}{x^2}$，…（2分）
∴$f（x）=160{x^2}+100•4x•h=160{x^2}+100•4x•\frac{800}{x^2}$…（4分）
=$160（{x^2}+\frac{2000}{x}），（0＜x≤10）$…（6分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（0，10]，且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=160[（{x_1}^2+\frac{2000}{x_1}）-（{x_2}^2+\frac{2000}{x_2}）]$
=$\frac{160（{x}_{1}-{x}_{2}）[{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-2000]}{{x}_{1}{x}_{2}}$…（8分）
∵0＜x₁＜x₂≤10，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂（x₁+x₂）＜2000，
∴y=f（x₁）-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），∴y=f（x）在x∈（0，10]上單調遞減…（10分）
故x=10當時，f_min（x）=f（10）=48000…（11分）
答：當底面邊長為10m時，蓄水池最低造價為48000元…（12分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數單調性的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．