Question

5．已知a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=n•2ⁿ對任意的正整數n恒成立．
（1）若a₁，a₂，a₃，…，a_n+1成等差數列，求出該數列的通項公式；
（2）若a₁是已知數，求數列a₁，a₂，a₃，…，a_n+1的通項公式．

Answer 1

分析 （1）a₁，a₂，a₃，…，a_n+1成等差數列，設公差為d．令n=1，2，有，a₁+a₂=2，a₁+2a₂+a₃=2×2²=8，解得
a₁，d．即可得出a_n．
（2）a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=n•2ⁿ，n≥2時，${a}_{1}{∁}_{n-1}^{0}$+${a}_{2}{∁}_{n-1}^{1}$+…+${a}_{n}{∁}_{n-1}^{n-1}$=（n-1）•2^n-1，根據${∁}_{n}^{k}-{∁}_{n-1}^{k}$=${∁}_{n-1}^{k-1}$，相減可得：a₁（1-1）+a₂${∁}_{n-1}^{0}$+${a}_{3}{∁}_{n-1}^{1}$+…+a_n${∁}_{n-1}^{n-2}$+a_n+1C_nⁿ=（n+1）•2^n-1，再相減可得：（a₂-a₁）${∁}_{n-1}^{0}$+（a₃-a₂）${∁}_{n-1}^{1}$+…+（a_n+1-a_n）${∁}_{n-1}^{n-1}$=2•2^n-1，即可得出a₂-a₁=a₃-a₂=…=a_n+1-a_n=2，進而得出．

解答 解：（1）a₁，a₂，a₃，…，a_n+1成等差數列，設公差為d．
令n=1，2，有，a₁+a₂=2，a₁+2a₂+a₃=2×2²=8，
∴2a₁+d=2，4a₁+4d=8，解得a₁=0，d=2．
∴a_n=2（n-1）．
（2）a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=n•2ⁿ，①
∴n≥2時，${a}_{1}{∁}_{n-1}^{0}$+${a}_{2}{∁}_{n-1}^{1}$+…+${a}_{n}{∁}_{n-1}^{n-1}$=（n-1）•2^n-1，②
又${∁}_{n}^{k}-{∁}_{n-1}^{k}$=${∁}_{n-1}^{k-1}$，
相減可得：a₁（1-1）+a₂${∁}_{n-1}^{0}$+${a}_{3}{∁}_{n-1}^{1}$+…+a_n${∁}_{n-1}^{n-2}$+a_n+1C_nⁿ=（n+1）•2^n-1，③
③-②可得：（a₂-a₁）${∁}_{n-1}^{0}$+（a₃-a₂）${∁}_{n-1}^{1}$+…+（a_n+1-a_n）${∁}_{n-1}^{n-1}$=2•2^n-1，
∴a₂-a₁=a₃-a₂=…=a_n+1-a_n=2，
∴a_n=a₁+2（n-1），
a_n+1=a₁+2n．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、方程的思想、二項式定理及其性質、組合數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．