Question

11．已知x，y∈[0，2π]，若$2sinxcosy-sinx+cosy=\frac{1}{2}$，則x-y的最小值為-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知整理可得（sinx+$\frac{1}{2}$）（cosy-$\frac{1}{2}$）=0，解得sinx=-$\frac{1}{2}$或cosy=$\frac{1}{2}$，結合范圍x，y∈[0，2π]，即可求解x-y的最小值．

解答 解：∵2sinxcosy-sinx+cosy=$\frac{1}{2}$，
∴2sinxcosy-sinx+cosy-$\frac{1}{2}$=0，
∴sinxcosy-$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosy-$\frac{1}{4}$=0，
∴（sinx+$\frac{1}{2}$）（cosy-$\frac{1}{2}$）=0，
∴sinx=-$\frac{1}{2}$或cosy=$\frac{1}{2}$，
∵x，y∈[0，2π]
∴x=$\frac{7π}{6}$或$\frac{11π}{6}$，y=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
當x=$\frac{7π}{6}$，y=$\frac{5π}{3}$時，x-y取得最小值，最小值為$\frac{7π}{6}$-$\frac{5π}{3}$=-$\frac{π}{2}$．
故答案為：-$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數值，三角函數的圖象和性質的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．