Question

8．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（\frac{7π}{8}）$的值；
（2）求函數g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的對稱軸與單調區間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦函數公式化簡函數解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由f（x）是偶函數，可得φ=$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），結合范圍0＜φ＜π，可求φ，利用周期公式可求ω，即可求得函數解析式為f（x）=2cos 2x．利用誘導公式，特殊角的三角函數值即可求值得解．
（2）利用三角函數恒等變換的應用可得解析式g（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），令2x+$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，即可解得對稱軸方程，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，即可解得單調遞增區間，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得單調遞減區間．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）
=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
因為f（x）是偶函數，
則φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
所以φ=$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），
又因為0＜φ＜π，
所以φ=$\frac{2π}{3}$，
所以f（x）=2sin（$ωx+\frac{π}{2}$）=2cosωx．
由題意得$\frac{2π}{ω}$=2•$\frac{π}{2}$，
所以ω=2．
故f（x）=2cos 2x．
因此$f（\frac{7π}{8}）$=2cos$\frac{7π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）g（x）=2cos 2x+2cos 2（x+$\frac{π}{4}$）
=2cos 2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=2cos 2x-2sin 2x
=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），
令2x+$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，解得對稱軸x=-$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{3π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z，
所以函數g（x）的對稱軸x=-$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
單調遞增區間為：[-$\frac{5π}{8}$+kπ，-$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z，單調遞減區間為：[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用及正弦函數的圖象和性質的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．